Die Lorenz-Gleichungen der Konvektion

Nach Rayleight können als stationäre Lösungen des Eigenwertproblems der linearisierten Gleichungen (3.1,3.2) mit den Randbedingungen für z=0,H bei Lösungen folgender Form angenommen werden:

wobei für wird. Die Behandlung ,,freier`` konvektiver Bewegung als einfaches Anfangswertproblem, legt somit nachstehende Fourierreihen-Entwicklung der Stromfunktion und der Temperaturabweichung bzgl. der Wellenlängen L, 2H in x,z-Richtung nahe (Saltzman 1962):

Unter Berücksichtigung von Wellenzahlen erhählt Saltzman durch Einsetzen und Auswerten von (4.1,4.2) in (3.1,3.2) ein System von 52 gewöhnlichen Dglen. 1. Ordng. für die entsprechenden Fourierkomponenten. Bzgl. kleiner Störungen löst er davon ein System von sieben Glchgn. Bemerkenswerterweise tendieren vier der Komponenten bei nichtperiodischen Lösungen gegen Null, so daß Lorenz (1963) auf der Suche nach einem sowohl einfachen wie reichhaltigen Modell konvektiver Bewegung hinsichtlich der Existenz nichtperiodischer Lösungen drei ,,wesentliche`` Glchgn. erhält mit dem Ansatz:

Mit und entsprechen die Lorenz-Variablen X,Y,Z in den Entwicklungen (4.1,4.2) den Komponenten . Eingesetzt in (3.1,3.2) folgen für die Fourierkomponenten (X,Y,Z) die Lorenz-Gleichungen der Konvektion:

wobei und Hinsichtlich ihrer physikalischen Bedeutung soll nach Lorenz X der Stärke konvektiver Bewegung proportional sein, Z ein Maß der Abweichung vom linearen vertikalen Temperaturprofil und Y proportional zur Temperaturdifferenz zwischen aufsteigenden und abfallenden Strömungen sein. Für ,,nicht zu grorßes r'' sollen die Glchgn. (5.3-5.5) ein realistisches Modell konvektiver Bewegung darstellen.