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Konvektionsgleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen der Beschleunigungskräfte folgen aus der Summe der Druck-, Gravitations- und Reibungskräfte:

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Gemäß Geometrie der Benard-Konvektionsschicht in der vertikalen x-z-Ebene bezeichnen u,w in u = (u,w) = (dx/dt,dz/dt) die horizontale und vertikale Geschwindigkeitskomponente. P steht für den Druck, tex2html_wrap_inline239 für die Dichte; während g die Erdbeschleunigung und tex2html_wrap_inline241 die kinematische Viskosität symbolisieren. Die Reibungskraft folgt dabei aus der Newton'schen Annahme eines zum Geschwindigkeits-Gradienten proportionalen Reibungsdruckes tex2html_wrap_inline243 :

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Nach Boussineq ist außer in Verbindung mit g die Dichte als tex2html_wrap_inline247 vorausgesetzt. Sonst wird zwischen der Dichte tex2html_wrap_inline239 und der Temperatur tex2html_wrap_inline251 ein linearer Zusammenhang angenommen, formuliert in der Zustandsgleichung:

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mit tex2html_wrap_inline255 als Wärmedehnungs-Koeffizienten. Wird für die ,,Dissipationsrate`` tex2html_wrap_inline257 ein linearer Diffusionsterm angesetzt, folgt aus dem 1.Hauptsatz:

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folgende Wärmetransport-Gleichung:

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wenn tex2html_wrap_inline263 den Wärmeleitungs-Koeffizienten bezeichnet. Die Kontinuitätsgleichung reduziert sich für eine inkompressible Flüssigkeit auf:

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Die ,,gestörten Lösungen`` tex2html_wrap_inline267 der Glchgn.(1.1-1.5) sind als Summen aus Ruhelösungen f(z) bei reiner Wärmeleitung und Abweichungen tex2html_wrap_inline269 durch Konvektion darstellbar:

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wobei tex2html_wrap_inline277 gilt und H die Konvektionsschichtdicke bezeichnet. Unter Einführung einer Stromfunktion tex2html_wrap_inline281 als Funktion der Stromlinien in der vertikalen x-z-Ebene durch: u = (u,w) = tex2html_wrap_inline283 mit tex2html_wrap_inline285 u als ,,vorticity`` (Wirbelstärke), folgen die von Lorenz an den Anfang seiner Untersuchungen gestellten Gleichungen der Benard-Konvektion (Saltzman 1962) zu:

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wenn zu dimensionslosen Größen übergegangen wird: tex2html_wrap_inline291 sowie tex2html_wrap_inline293 die Prandtl-Zahl, tex2html_wrap_inline295 die Rayleigh-Zahl symbolisieren und die ,,übliche Abkürzung für die Funktional-Determinante verwendet wird.


Ingo Tessmann
Fri Feb 16 12:35:52 MEZ 1996